ما أفضل طريقة لحل معادلات من الشكل cos u=sin v ؟

أتمنى لك التوفيق في امتحانك، أفضل طريقة لحل معادلات من الشكل cos u=sin v هي بفهم بعض المعلومات الأساسية، ثم اتبّاع الخطوات الآتية:

1. ضع المعادلة بدلالة واحدة لزاوية واحدة.

كقاعدة أساسية فإن هذه المعادلات تتعلق بالأرقام وليس الزوايا، فيجب البحث عن جميع الأرقام الممكنة التي يُمكن استبدالها بالمتغير في المعادلة لجعلها صحيحة

مثال: cos (4A) – sin (2A) = 0، صحيح أنه يجب إيجاد قيمة A، لكن إذا كان بإمكانك إيجاد الزاوية 4A أو 2A، فمن السهل حل المتغير.

1. اكتب المعادلة كدالة مثلثية لزاوية تساوي ثابتًا، وهنا يجب استخدام المتطابقات المثلثية.

الخطوة التالية تتمثل بحل قيمة هذه الوظيفة إذ يمكن كتابة نفس المعادلة على هذه الصورة، وهي تطبيق للمعادلة التربيعية:

2sin² (2A) + sin (2A) – 1 = 0

2y² + y – 1 = 0، حيث y = sin (2A)

ويُمكن تحليلها إلى عوامل بطريقة مباشرة، مثل 0 = (y + 1) (2y − 1)، ممّا يُعطي (sin (2A) + 1) (2sin (2A) – 1) = 0

1. اكتب القيمة المحتملة للزاوية.

بعد إيجاد قيمة دالة يمكنك الآن إيجاد الزاوية، إذا كان من مضاعفات π / 6 (30 درجة) أو π / 4 (45 درجة)، فيمكنك حلها بسهولة.

أما إذا كانت من مضاعفات هذه الزوايا، فعليك استخدام صيغ أخرى أو متطابقات أخرى لكتابة حل دقيق.

(قد يكون من الأنسب في بعض الأحيان استخدام الآلة الحاسبة).

1. إيجاد قيمة المتغير.

الآن يجب التوقف عن التفكير بالزاوية والانتباه للمتغير، فمن المهم جدًا إجراء هذه الخطوة بعد الخطوة 3 وليس قبلها.

وذلك لوجوب إضافة 2πn أو n إلى الزاوية، وليس المتغير لتعكس فترة دالة حساب المثلثات.

2sin² (2A) + sin (2A) – 1 = 0

sin (2A) = −1 أو sin (2 A) = 1/2

وذلك يعني أن:

2A = 3π / 2 + 2πn

أو π / 6 + 2πn

أو 5π / 6 + 2πn

الآن قسّم كلا الطرفين على 2 لإيجاد المتغير A في كل معادلة

A = 3π / 4 + n

أو π / 12 + n

أو 5π / 12 + n

1. تطبيق أي قيود على الحل.

وهذا يعني التحقق فيما إن كان الحل يطابق فترة القيم المسمحوة للمتغير، وتكتب الفترة على الشكل الآتي:

[0 ؛ 2π)

وفي أحيان أخرى تكتب على شكل متباينة كالآتي:

0

وفي حال لم يكن هنالك أي قيود ي المسألة، فيجب حينها تقديم جميع الحلول الحقيقية.